La derivada :Reglas Basicas

La derivada es el limite del cociente del incremento de la variable dependiente entre el incremento de la variable independiente cuando esta tiende a "0"

Formula:
Si una función es: f(x)= ax elevado a la n potencia
Su derivada es f´(x)= anx elevado a la n-1 potencia

Reglas básicas de la derivación:

Si f(x)= a, su derivada es f´(x)=0

f(x)= 7, f´(x)=0

2. Si f(x)= x, su derivada es f´(x)= 1

Supongamos que tenemos una función y la llamamos F. La derivada de F es otra función que llamaremos F'. esta pendiente F'(X) es "la inclinación" de la línea recta que pasa justo por encima del punto (X,F(x)) y que es tangente a la gráfica de F.

Puntos Criticos; Maximo y Minimo

es un lugar donde una función tiene el gradiente idéntico a cero.
Tambien, Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función.

Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un minimo local ; si es negativa, se dice que el punto es un maximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexion. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimizacion . Aunque nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas.

Regla de la suma,del producto del cociente y la cadena

Para derivar una suma o resta de funciones se deriva cada termino.

Si f(x)= u(x) + v(x), su derivada es f´(x)= u'(x)+v'(x)

F(x)= 5X2 + 3x2

F(x) = 10x + 6x

Se utiliza cuando se tiene una función formada de multiplicación de polinomios aplicándose a la formula:

f(x)= uv, f´(x)= u'v + uv'

F(x)= (X+2) (x+5)
F'(x)= 1(x+5) + (x+2)1
f'(x)= x+5 + x +2
f'(x)= 2x + 7


Esta regla se aplica a las funciones polinominales de división y su formula es:

f(x)= u/v
f´(x)= u'v - uv'/ v²

F(x) = 2X2 + 4/4x2 + 2
F'(x) = 4x (4x2 + 2 ) - (2x2 + 4) 8x
F'(x) = 16x3 + 8x - 16x3 + 32x
F'(x) = 40x / (4x2+2) 2

Se emplea cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia utilizando la ecuación.

f(x)= uⁿ
f´(x)= n(u)^n-1(u')

F(x)= ( 4x2 + 5)3
F'(x) = 3( 4x2 + 5 ) 2 (8x)
F'(x) = 24x (4X2 + 5 ) 2

Ecuacion de la linea Normal

La recta normal a una curva en un punto de tangencia dado, es una recta perpendicular a la tangente de dicho punto.
Para determinar la pendiente de una recta normal se utiliza la formula m=-1/f´(x)

• Primer Caso :

Determinar la ecuación de la línea normal a la función f(x)= x² + 3x + 5 en el punto x= 1

Primer paso: Sustituir x para determinar y

F(1)= (1)2 + 3(1) + 5
F(1) = 1 + 3 + 5
y= 9

Segundo paso:Determinar la pendiente

m= -1/ f´(x)

m= -1/2x+3

m= -1 / 2(2) + 3

m= 2.7

Tercer paso: Sustituir la ecuación de la forma punto pendiente

y - y¹= m(x-x¹)

y-9=2.7(x-1)

y= 2.7x -2.7 + 9

y=2.7x + 6.3

Si una función es derivable en un punto p₁ (x₁, y₁), entonces la gráfica de la función tiene una tangente en dicho punto, cuya pendiente es:

m₁= f´(x₁)

La línea tangente es la recta que toca un punto de la curva y el punto es común entre la tangente y la curva es el punto de tangencia.

Forma de punto pendiente: y-y₁=m(x-x₁)

• Primer Caso
  

Es cuando se nos presentan 3 datos;La funcion el punto"X" y el punto "Y"


F(x)=4x² + 5x - 10 = 2,6


1º Paso: DERIVAR LA FUNCION

F'(x)= 8x + 5


2º Paso: Sustituir el valor de X en la Funcion derivada

F'(x)= 8x + 5

F'(2)= 8(2) + 5

F'(2)= 16 + 5

m = 21 (Pendiente)


Paso 3: sustituir el punto tangencia en la ecuación punto pendiente

y-y₁=m(x-x₁)

y-6=21(x-2)

y=21x-42

• Segundo Caso

Cuando se dan solo 2 datos en la función

F(x) = x² + 8x + 5 en x = 3


1º Paso: Sustituir X en la funcion

F(x) = x2 + 8x + 5

F(3) = (3)2 + 8(3) + 5

F(3) = 9 + 24 + 5

Y= 38


2º Paso : Derivar la funcion Original

F(x) = x2 + 8x + 5

F'(x) = 2x + 8


3º Paso : Sustituir x en la funcion derivada

F'(x) = 2x + 8

F'(3)= 2(3) + 8

F'(3)= 6 + 8

m= 14


4º Paso: Sustituir Valores en la ecuacion Punto Pendiente

y-y₁=m(x-x¹)

y-38=14(x-3)

y= 14x - 42 + 38

Y= 14x - 4

Derivada De Orden Superior

A la derivada de una funcion y=f(x),que se denota como dy/dx o como f´(x), se llama primera derivada o derivada de primer orden.

d/dx (y)= dy/dx

En algunas ocaciones es necesario calcular la derivada de una derivada; estás son llamadas derivadas de orden superior.

Cuando la primer derivada dy/dx es una función derivable, se puede calcular su derivada; a esta nueva derivada se le llama segunda derivada de la función original.

d/dx (dy/dx) = d²y/dx²

Si la segunda derivada es una función derivable, tambien se puede obtener su derivada; a esta otra derivada se le llama tercer derivada de la función.

d/dx (d²y/dx²) = d³y/dx³

Y mientras se obtenga derivadas que sean funciones derivables, se puede continuar con el proceso de obtención de estas derivadas de orden superior

La notación común utilizada para las derivadas de orden superior es la siguiente:

Primer derivada dy/dx = f'(x)= y'

Segunda derivada d²y/dx² = f''(x)= y''

Tercer derivada dy³/dx³ = f'''(x)= y'''

Cuarta derivada d⁴y/dx⁴ = f⁽⁴⁾(x)= y⁽⁴⁾ ó y⁽⁴⁾

Enésina derivada dⁿy/dxⁿ = fⁿ(x)= y⁽ⁿ⁾

Para determinar una derivada de orden superior se procede a calcular la primer derivada, luego se calcula la derivada de la primer derivada, se contunúa con la derivada de la segunda derivada y así sucesivamente hasta llegar a la derivada deseada.