Si una función es derivable en un punto p₁ (x₁, y₁), entonces la gráfica de la función tiene una tangente en dicho punto, cuya pendiente es:

m₁= f´(x₁)

La línea tangente es la recta que toca un punto de la curva y el punto es común entre la tangente y la curva es el punto de tangencia.

Forma de punto pendiente: y-y₁=m(x-x₁)

• Primer Caso
  

Es cuando se nos presentan 3 datos;La funcion el punto"X" y el punto "Y"


F(x)=4x² + 5x - 10 = 2,6


1º Paso: DERIVAR LA FUNCION

F'(x)= 8x + 5


2º Paso: Sustituir el valor de X en la Funcion derivada

F'(x)= 8x + 5

F'(2)= 8(2) + 5

F'(2)= 16 + 5

m = 21 (Pendiente)


Paso 3: sustituir el punto tangencia en la ecuación punto pendiente

y-y₁=m(x-x₁)

y-6=21(x-2)

y=21x-42

• Segundo Caso

Cuando se dan solo 2 datos en la función

F(x) = x² + 8x + 5 en x = 3


1º Paso: Sustituir X en la funcion

F(x) = x2 + 8x + 5

F(3) = (3)2 + 8(3) + 5

F(3) = 9 + 24 + 5

Y= 38


2º Paso : Derivar la funcion Original

F(x) = x2 + 8x + 5

F'(x) = 2x + 8


3º Paso : Sustituir x en la funcion derivada

F'(x) = 2x + 8

F'(3)= 2(3) + 8

F'(3)= 6 + 8

m= 14


4º Paso: Sustituir Valores en la ecuacion Punto Pendiente

y-y₁=m(x-x¹)

y-38=14(x-3)

y= 14x - 42 + 38

Y= 14x - 4

Derivada De Orden Superior

A la derivada de una funcion y=f(x),que se denota como dy/dx o como f´(x), se llama primera derivada o derivada de primer orden.

d/dx (y)= dy/dx

En algunas ocaciones es necesario calcular la derivada de una derivada; estás son llamadas derivadas de orden superior.

Cuando la primer derivada dy/dx es una función derivable, se puede calcular su derivada; a esta nueva derivada se le llama segunda derivada de la función original.

d/dx (dy/dx) = d²y/dx²

Si la segunda derivada es una función derivable, tambien se puede obtener su derivada; a esta otra derivada se le llama tercer derivada de la función.

d/dx (d²y/dx²) = d³y/dx³

Y mientras se obtenga derivadas que sean funciones derivables, se puede continuar con el proceso de obtención de estas derivadas de orden superior

La notación común utilizada para las derivadas de orden superior es la siguiente:

Primer derivada dy/dx = f'(x)= y'

Segunda derivada d²y/dx² = f''(x)= y''

Tercer derivada dy³/dx³ = f'''(x)= y'''

Cuarta derivada d⁴y/dx⁴ = f⁽⁴⁾(x)= y⁽⁴⁾ ó y⁽⁴⁾

Enésina derivada dⁿy/dxⁿ = fⁿ(x)= y⁽ⁿ⁾

Para determinar una derivada de orden superior se procede a calcular la primer derivada, luego se calcula la derivada de la primer derivada, se contunúa con la derivada de la segunda derivada y así sucesivamente hasta llegar a la derivada deseada.